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Come sistemare le tazzine, la matematica corre in aiuto

Nulla, verrebbe da dire in un primo momento a chiunque della matematica ha un ricordo vago e un retrogusto persistente di passato disagio sui libri. 
E credetemi, lo direbbero pure i matematici.
Buona parte di loro infatti vede la propria materia come un gioco mentale che segue rigorosamente una logica e che si sviluppa parallelamente alla realtà senza per forza toccarla. 
Uno di questi elaborati giochi fatti di sole regole è chiamato “Packing problems”, che potremmo tradurre con problemi di stoccaggio.
I matematici che operano con la geometria si sono domandati come riempire il più possibile un piano (oppure anche uno spazio tridimensionale) di figure geometriche o solide.
Esiste una disposizione che rende massima, diciamo, la concentrazione di ottagoni con le tali misure in un triangolo della tal specie, senza che tali ottagoni si sovrappongano tra di loro?
Queste domande potrebbero apparire peregrine ma hanno avuto importanti ricadute in ogni professione che richieda di immagazzinare oggetti, anche di forme o dimensioni diverse, oppure di ricoprire delle superfici.
Il guadagno è innegabile, mettere il maggior numero di oggetti per ogni contenitore e magari riuscire ad usare meno contenitori.
E ora veniamo alle nostre tazzine, che vengono riposte sul piano dello scaldatazzine per presentarle al cliente alla temperatura ottimale per la degustazione.
In un articolo precedente avevamo già parlato del miglior orientamento di una tazzina per preservarla da contaminazioni ambientali (capovolte, cosa che le rende anche più stabili avendo una base di appoggio maggiore).

Ma cosa ci dicono i Packaging Problems sulla miglior disposizione di oggetti a base circolare, uguali tra di loro, su di una superficie piana?

Il primo matematico ad occuparsene fu Joseph Louis Lagrange (vi ricorda niente il suo cognome?) che già nel 1773 dimostrò che la maggior efficienza di immagazzinamento, che porta a ricoprire il piano di cerchi per il 91 % della sua superficie, è ottenuta da una disposizione a reticoli esagonali.
Per intenderci osservate l’immagine seguente.
La linea che unisce i centri di tutti i cerchi che toccano un cerchio a scelta formano i vertici di un esagono.

Questa disposizione a celle esagonali si può ottenere ponendo i cerchi, che con poca immaginazione possono rappresentare le tazzine appoggiate sul piano riscaldante, in file sfalsate di modo da alloggiare ciascuno nella cavità che si crea tra cerchi adiacenti della fila precedente.

Seguendo questo accorgimento può capitare di salvare spazio sul piano della scaldatazzine, aggiungendo una fila di tazzine in più.
Perché uso il condizionale? Lo spazio euclideo dei matematici non ha confini mentre il piano della scaldatazzine ne ha, e una possibilità è che lo spazio salvato su di esso non basti ad aggiungere una fila di tazzine.

E ora che abbiamo colto i benefici e le applicazioni di anni di studio (altrui) possiamo smettere di gongolare… la natura ci era già arrivata da sempre!
A seguire possiamo vedere che delle bolle in una schiuma finché rimangono tutte della medesima dimensione assumono proprio quella disposizione a celle esagonali che noi umani abbiamo dimostrato essere la più conveniente.

Anche le celle degli alveari delle api assumono una disposizione analoga, con il plus di essere divenute dei veri e propri esagoni, per utilizzare o spazio che sarebbe restato tra di loro se fossero stati circolari, quel 9% lasciato fuori secondo Lagrange.

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